已知f(x)＝(x1k+x)n，且正整数n满足C2n＝C6n，A＝{0，1，2，…n}．（1）求n；（2）若i，j∈A，是否存在j，当i≥j时，Cin≤Cjn恒成立．若存在，求出最小的j，若不存在，试说明理由：（3）k∈A，若f

Question

已知f(x)＝(x(1)/(k)+x)n，且正整数n满足

C

2 n

＝

C

6 n

，A＝{0，1，2，…n}．
（1）求n；
（2）若i，j∈A，是否存在j，当i≥j时，

C

i n

≤

C

j n

恒成立．若存在，求出最小的j，若不存在，试说明理由：
（3）k∈A，若f（x）的展开式有且只有6个无理项，求k．

Answer 1

（1）由

C

2 n

=

C

6 n

可知n=8…3分
（2）存在展开式中最大二项式系数满足条件，又展开式中最大二项式系数为

C

4 8

，
∴j=4…9分
（3）展开式通项为T_r+1=

C

r 8

(x(1)/(k))8−r•x^r=

C

r 8

x(8−r)/(k)+r，分别令k=1，2，3…8，
检验得k=3或4时8-r是k的整数倍的r有且只有三个．
故k=3或k=4…16分