（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2

Question

（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q-1}，集合A={x|x=x₁+x₂q+…+x_nq^n-1，x_i∈M，i=1，2，…n}．
（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）设s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，t=b₁+b₂q+…+b_nq^n-1，其中a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a_n＜b_n，则s＜t．

Answer 1

（Ⅰ）当q=2，n=3时，
M={0，1}，A={x|x＝x1+x2•2+x3•22，x_i∈M，i=1，2，3}．
可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．
（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，t=b₁+b₂q+…+b_nq^n-1，其中a_i，b_i∈M，i=1，2，…，n．a_n＜b_n，∴a_n-b_n≤-1．
可得s-t=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）q+…+(an−1−bn−1)qn−2+(an−bn)qn−1
≤-[1+q+…+q^n-2+q^n-1]
=−(qn−1)/(q−1)＜0．
∴s＜t．