在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN垂直DM,且交角CBE的平分线于N（1）求证：MD=NM（2）苦将上述条件占的“M是AB中的中点”改为“M是AB 上的任意一点”,其余条件不变,则结论“MD

Question

在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN垂直DM,且交角CBE的平分线于N
（1）求证：MD=NM
（2）苦将上述条件占的“M是AB中的中点”改为“M是AB 上的任意一点”,其余条件不变,则结论“MD=NM”还成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由
是这个图

Answer 1

证明：
（1）作NF垂直CB于F,NG垂直AE于G,MN交BC于H,于是我们就由题意得到正方形NFBG,由图可知三角形DAM相似于三角形MBH相似于三角形NFH,我们社正方形ABCD的边长为a,于是我们就得到AM=BM=a/2,BH=a/4,设FH=x,由相似得NF/FH=2,
（x+a/4)/x=2,x=a/4,所以正方形NFBG的边长为a/2=AM,所以RT三角形DAM全等于
RT三角形MGN,所以DM=MN.
(2)设BM=a,MA=b,则DA=a+b,由于三角形DAM相似于三角形MBH,
所以有BH=ab/(a+b),设FH=x,由三角形NFH相似于三角形MBH,
得到x/(x+ab/(a+b))=b/(a+b),得到x=b^2/(a+b),于是NG=b^2/(a+b)+ab/(a+b)
=b=MA,所以RT三角形DAM全等于RT三角形MGN,所以DM=MN.