如图,抛物线Y=X²-2X-2交X轴于A,B两点,顶点为C,经过A,B,C三点的圆的圆心为M.（1）求圆心M的坐标；（2）求○M上劣弧AB的长；（3）在抛物线上是否存在一点D,使线段OC和MD互相平分?若存在,求出

Question

如图,抛物线Y=X²-2X-2交X轴于A,B两点,顶点为C,经过A,B,C三点的圆的圆心为M.
（1）求圆心M的坐标；（2）求○M上劣弧AB的长；（3）在抛物线上是否存在一点D,使线段OC和MD互相平分?若存在,求出点D的坐标,若不存在请说明理由.

Answer 1

⑴令Y=0代入Y=X^2-2X-2得,X=1±√3,
∴A(1-√3,0),B(1+√3,0),
Y=(X-1)^2-3,∴顶点坐标C(1,-3),圆心在对称轴X=1上,
设对称轴X=1与X轴交于N(1,0),
根据题意：MC=MB,∴BN^2+MN^2=MC^2,3+MN^2=(3-MN)^2,MN=1,
∴M(1,-1).
⑵tan∠BMN=BN/MN=√3,∴∠BMN=60°,∴∠BMA=120°,
又圆半径BM=√(MN^2+BN^2)=2,
∴劣弧AB长：1/3*2π*2=4/3π.
⑶∵BN∥CD,BN=CD=√3,∴D(1-√3,-3),
∴AD∥Y轴,∴D不在抛物线上.