设函数f（x）在x=0的某领域内三阶可导，limx→0f′(x)1−cosx=-12，则（）A．f（0）必是f（x）的一个极大值B．f（0）必是f（x）的一个极小值C．f′（0）必是f′（x）的一个极大值D．f′（0

Question

设函数f（x）在x=0的某领域内三阶可导，

lim

x→0

(f′(x))/(1−cosx)=-(1)/(2)，则（　　）

A．f（0）必是f（x）的一个极大值
B．f（0）必是f（x）的一个极小值
C．f′（0）必是f′（x）的一个极大值
D．f′（0）必是f′（x）的一个极小值

Answer 1

因为f（x）在x=0的某领域内三阶可导，
所以f（x），f′（x），f″（x）在x=0处连续．
因为

lim

x→0

(f′(x))/(1−cosx)＝−(1)/(2)，①
故f′（0）=

lim

x→0

f′(x)=0（∵f′（x）连续）．
利用洛必达法则，由①可得，

lim

x→0

(f″(x))/(sinx)＝−(1)/(2)＜0，②
故f″（0）=

lim

x→0

f″(x)=0（f″（x）连续）．
由②，利用极限的保号定理知，
∃δ＞0，使x∈（-δ，δ）时，(f″(x))/(sinx)＜0，
从而当x∈（-δ，0），f″（x）＞0，
当x∈（0，δ），f″（x）＜0，
由第一充分条件知，f′（0）必是f′（x）的一个极大值．
故选：C．