设A是n（n>=2)阶矩阵,A^2=A,但A不为E,A*是A的伴随矩阵,证明:A*不可逆

Question

设A是n（n>=2)阶矩阵,A^2=A,但A不为E,A*是A的伴随矩阵,证明:A*不可逆

Answer 1

A²=A => A(A-E)=O
若A可逆,则可推出:A-E=O,即A=E,矛盾
所以A不可逆 ,可推出行列式|A|=0
所以AA* = |A|E =O
若A*可逆 ,则可推出:A=O ,进而A*=O (∵A的任意余子式为0)
与A*可逆矛盾
所以A*不可逆