偏导数怎么理解?可否举个例子

Question

偏导数怎么理解?可否举个例子

Answer 1

仅举一例：
由物理学知道：金属丝的电阻R与材料的电阻率ρ、金属丝的长度L和金属丝的横截面积S
有如下的关系：
R = ρ L / S (1)
将R写成函数的形式：R = R(ρ,L,S) （2）
即金属丝的电阻R可用一个三(多)元函数(2)来描述.其中ρ、L、S是三个独立的(自)变量,R是因变量.研究多元函数的性质,必须用到偏微分（或偏导数）.比如要计算当(ρ,L,S)有微小变化(dρ、dL、dS)时,R的变化,要 用到多元函数的全微分：
dR = (∂R/∂ρ)dρ + (∂R/∂L)dL + (∂R/∂S)dS (3)
其中：∂R/∂ρ ∂R/∂L ∂R/∂S 分别是R对 ρ,L,S的三个偏导数.其物理意义是当有两个变量不变时,R对另一变量的变化率.根据(1)式,可用算出三个偏导数：
∂R/∂ρ = L/S ∂R/∂L = ρ/S ∂R/∂S = -ρL/S² (4)
显然：
∂R/∂ρ = L/S>0 ∂R/∂L = ρ/S>0 ∂R/∂S = -ρL/S²