函数在某点的左导数和其导函数在该点的左极限表示的意义有什么区别和联系?还有,如果左不连续,那它的左导数还存在么?导数左极限呢?（能举例子最好^^）

Question

函数在某点的左导数和其导函数在该点的左极限表示的意义有什么区别和联系?
还有,如果左不连续,那它的左导数还存在么?导数左极限呢?（能举例子最好^_^）

Answer 1

这两个概念是不同的,函数f(x)在x0点的左导数f‘-(x0)是用导数定义求得的,即x趋于x0-时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0),而在x0点导函数的左极限f'(x0-)是先用求导公式求出其导函数的表达式f'(x),再在这个表达式中令x趋于x0-取极限,即x趋于x0-时limf'(x).这是两个不同的概念,完全有可能不相等,或者不同时存在.和连续的相关内容类似,左不连续的函数在该点一定没有左导数,但导函数的左极限可能存在,例如f(x)=1 x≠0
0 x=0
这函数除了x=0点不连续从而不可导以外,其它点都可导且f'(x)=0,故x趋于0-时limf'(x)=0存在.另外如果函数左连续,导函数左极限不存在时,不一定没有左导数.例如f(x)=(x^2)sin(1/x) x≠0
0 x=0
可以证明在x=0处f(x)可导,且f'(0)=0,因此x=0处的左右导数都存在且都等于0,而由求导公式求出的f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)在x趋于0-时极限不存在.