已知：△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，F是DB上的一点，DF=AE，AG是∠BAC的角平分线，FH⊥AG垂足是H，FH、BC相交于I，求证：BI=CI．

Question

已知：△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，F是DB上的一点，DF=AE，AG是∠BAC的角平分线，FH⊥AG垂足是H，FH、BC相交于I，求证：BI=CI．

Answer 1

证明：延长FH交AC的延长线于点M，作CN∥AB，交FM于点N，
∵AG是∠BAC的角平分线，FH⊥AG，
∴∠FAH=∠MAH，∠AHF=∠AHM=90°，
在△AFH和△AFM中，

∠FAH=∠MAH

AH=AH

∠AHF=∠AHM

，
∴△AFH≌△AFM，
∴∠M=∠AFH，AF=AM，
∵CN∥AB，
∴∠CNM=∠AFH，∠B=∠ICN，
∴∠CNM=∠M，
∴CM=CN，
∵CM=AM-AC=AF-AC=AD+DF-AE-EC，DF=AE，
∴CM=AD-EC
∵BF=AB-AF=2AD-AD-DF=AD-DF，DF=CE，
∴BF=CN=CM，
在△BFI和△CIN中，

∠B=∠ICN

∠BIF=∠CIN

BF=CN

，
∴△BFI≌△CIN，
∴BI=CI．