在△ABC中，（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和A

Question

在△ABC中，

（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；
（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE 相交于点O，求证：BE=CD；
（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系．（不需证明）

Answer 1

（1）如图1，作PN⊥BC于N，
又∵BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，
∴PM=PN，
∴S_△ABP：S_△BPC=（(1)/(2)AB•PM）：（(1)/(2)BC•PN）=AB：BC，
∵AB=50，BC=60，
∴△ABP与△BPC面积的比值为(5)/(6)；

（2）证明：如图2，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，

AD=AB

∠DAC=∠BAE

AC=AE

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=CD；

（3）∠AOD与∠AOE的数量关系为：∠AOD=∠AOE．
理由：如图，过点A作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N，
由（2）可得，△DAC≌△BAE，且DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE，
即(1)/(2)×CD×AM=(1)/(2)×BE×AN，
∴AM=AN，
∴点A在∠DOE的角平分线上，
∴∠AOD=∠AOE．