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如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数y=kx的图象上.(1)求m,k的值;(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数
题目详情
如图,点A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数y=
的图象上.
(1)求m,k的值;
(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
k |
x |
(1)求m,k的值;
(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点,以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可知,m(m+1)=(m+3)(m-1),解得m=3,(2分)
∴A(3,4),B(6,2),
∴k=4×3=12;(3分)
(2)存在两种情况,如图:
①当M点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴上时,设M1点坐标为(x1,0),
N1点坐标为(0,y1),
∵四边形AN1M1B为平行四边形,
∴线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的,
(也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的)
由(1)知A点坐标为(3,4),B点坐标为(6,2),
∴N1点坐标为(0,4-2),即N1(0,2),
M1点坐标为(6-3,0),即M1(3,0),(4分)
设直线M1N1的函数表达式为y=k1x+2,
把x=3,y=0代入,解得k1=−
,
∴直线M1N1的函数表达式为y=−
x+2;(5分)
②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴的负半轴上时,
设M2点坐标为(x2,0),N2点坐标为(0,y2),
∵AB∥N1M1,AB∥M2N2,AB=N1M1,AB=M2N2,
∴N1M1∥M2N2,N1M1=M2N2,
∴四边形N1M2N2M1为平行四边形,
∴点M1、M2与线段N1、N2关于原点O成中心对称,
∴M2点坐标为(-3,0),N2点坐标为(0,-2),(6分)
设直线M2N2的函数表达式为y=k2x-2,
把x=-3,y=0代入,解得k2=−
,
∴直线M2N2的函数表达式为y=−
x−2.
所以,直线MN的函数表达式为y=−
x+2或y=−
x−2.(7分)
∴A(3,4),B(6,2),
∴k=4×3=12;(3分)
(2)存在两种情况,如图:
①当M点在x轴的正半轴上,N点在y轴的正半轴上时,设M1点坐标为(x1,0),
N1点坐标为(0,y1),
∵四边形AN1M1B为平行四边形,
∴线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到的,
(也可看作向下平移2个单位,再向左平移3个单位得到的)
由(1)知A点坐标为(3,4),B点坐标为(6,2),
∴N1点坐标为(0,4-2),即N1(0,2),
M1点坐标为(6-3,0),即M1(3,0),(4分)
设直线M1N1的函数表达式为y=k1x+2,
把x=3,y=0代入,解得k1=−
2 |
3 |
∴直线M1N1的函数表达式为y=−
2 |
3 |
②当M点在x轴的负半轴上,N点在y轴的负半轴上时,
设M2点坐标为(x2,0),N2点坐标为(0,y2),
∵AB∥N1M1,AB∥M2N2,AB=N1M1,AB=M2N2,
∴N1M1∥M2N2,N1M1=M2N2,
∴四边形N1M2N2M1为平行四边形,
∴点M1、M2与线段N1、N2关于原点O成中心对称,
∴M2点坐标为(-3,0),N2点坐标为(0,-2),(6分)
设直线M2N2的函数表达式为y=k2x-2,
把x=-3,y=0代入,解得k2=−
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∴直线M2N2的函数表达式为y=−
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所以,直线MN的函数表达式为y=−
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