如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．（1）若BE=22，AE=3，求AF的长；（2）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；（3）请直接写出线段AD、BE、AE

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．

（1）若BE=2√(2)，AE=√(3)，求AF的长；
（2）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
（3）请直接写出线段AD、BE、AE的数量关系．

Answer 1

（1）∵BE的中点是F，BE=2√(2)，
∴EF=√(2)，
∵AE=√(3)，BE⊥AD，
∴AF=√(AE2+EF2)=√(5)，

（2）如图，延长AF至M点，使AF=MF，连接BM，

在△AEF和△MBF中，

AF=FM

∠AFE=∠BFM

EF=BF

∴△AEF≌△MFB（SAS），
∴∠FAE=∠FMB，
∴AE∥MB，
∴∠EAB+∠ABM=180°，
又∵AB=AC，DB=DA，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD，
∴∠ACD=180°-∠ACB，∠ABM=180°-∠BAD，
∴∠ACD=∠ABM．又∵∠BAC=∠DAF，
∴∠1=∠2．
在△ABM和△ACD中，

AB=AC

∠1=∠2

∠ACD=∠ABM

，
∴△ABM≌△ACD，
∴AM=AD，
∴2AF=AD

（3）结论：AD²=BE²=（AD-AE）²．
理由∵DB=DA，BE⊥AD，
∴BD²=BE²+DE²，
∴AD²=BE²=（AD-AE）²．