设f（x）=ex-a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．（2）设g（x）=f（x）+aex，且A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直

Question

设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）设g（x）=f（x）+(a)/(ex)，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜(√(e))/(e−1)•(2n)n．

Answer 1

（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解为x=lna，
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，即a_max=1．
（2）设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁＜x₂，
则(g(x2)−g(x1))/(x2−x1)＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∴不妨令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴对任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′(x)＝ex−a−(a)/(ex)≥2√(ex•(−(a)/(ex)))-a=-a+2√(−a)=(√(−a)+1)2−1≥3，
故m≤3；
（3）由（1）知e^x≥x+1，取x=−(i)/(2n)，i=1，3，…，2n-1，得1-(i)/(2n)≤e(i)/(2n)，即((2n−i)/(2n))n≤e−(i)/(2)，
累加得：((1)/(2n))n+((3)/(2n))n+…+((2n−1)/(2n))n≤e−(2n−1)/(2)+e−(2n−3)/(2)+…+e−

作业帮用户 2017-11-13 举报

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问题解析

（1）f（x）≥0对一切x∈R恒成立，等价于f（x）_min≥0，利用导数可得最小值；
（2）设x₁，x₂是任意的两实数，且x₁g（x₁）-mx₁，令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分离出参数m后转化为求函数最值即可；
（3）由（1）知e^x≥x+1，取x=−(i)/(2n)，i=1，3，…，2n-1，得1-(i)/(2n)≤e(i)/(2n)，即((2n−i)/(2n))n≤e−(i)/(2)，累加后再进行适当放缩，可证明；

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．

考点点评：

本题考查恒成立问题、导数求函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．

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