高一数学集合1.已知集合A={x|f（x）=x}与集合B{x|f(f(x))=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（x,a,b∈R）（1）若A={-1,3},求集合B.（2）若A是单元素集合,求A,B之间的关系.2.设A={x|x=a+b根号2a,b∈Z}（1）若A中的元素x

Question

高一数学 集合
1.已知集合A={x|f（x）=x}与集合B{x|f(f(x))=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（x,a,b∈R）
（1）若A={-1,3},求集合B.
（2）若A是单元素集合,求A,B之间的关系.
2.设A={x|x=a+b根号2a,b∈Z}
（1）若A中的元素x的倒数也是A中的元素,求a,b之间的关系
（2）对于给定的整数b,求满足0＜a+b根号2＜1的A中元素的个数

Answer 1

1.已知集合A={x|f（x）=x}与集合B{x|f(f(x))=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（x,a,b∈R）
（1）若A={-1,3},求集合B.
因为1-a+b=-1,且9+3a+b=3,得a=-1,b=-3.
f(x)=x^2+ax+b=x^2-x-3,由f(f(x))=(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3=x得
(x^2-2x-3)(x^2-3)=0,解得B={-1,3,-√3,√3}.
（2）若A是单元素集合,求A,B之间的关系.
若A是单元素集合,有b=(a-1)^2/4,f(x)=x^2+ax+b=x^2+ax+(a-1)^2/4,
f(f(x))=x可化为[x+(a-1)/2]^2*{[x+(a-1)/2]^2+1}=0,所以有A=B.
2.设A={x|x=a+b根号2,a,b∈Z}
（1）若A中的元素x的倒数也是A中的元素,求a,b之间的关系
1/（a+b根号2）=(a-b根号2)/(a^2-2b^2),a/(a^2-2b^2)与b/(a^2-2b^2)都是整数,当a,b时,a^2-2b^2=1.
（2）对于给定的整数b,求满足0＜a+b根号2＜1的A中元素的个数
由0＜a+b根号2＜1得-b根号2＜a＜1-b根号2,又区间（-b根号2,1-b根号2）的长度为1,所以,满足条件的整数a有且仅有一个.