已知函数f（x）=lnx+(x-b)2x（b∈R）．若存在x∈[12，2]，使得f（x）>-x•f′（x），则实数b的取值范围是．

Question

已知函数f（x）= (lnx+(x-b)2)/(x)（b∈R）．若存在x∈[ (1)/(2)，2]，使得f（x）>-x•f′（x），则实数b的取值范围是___．

Answer 1

∵f（x）=(lnx+(x-b)2)/(x)，x>0，
∴f′（x）=(1+2x(x-b)-lnx-(x-b)2)/(x2)，
∴f（x）+xf′（x）=(1+2x(x-b))/(x)，
∵存在x∈[(1)/(2)，2]，使得f（x）+xf′（x）>0，
∴1+2x（x-b）>0
∴b<x+(1)/(2x)，
设g（x）=x+(1)/(2x)，
∴b<g（x）_max，
∴g′（x）=(2x2-1)/(2x2)，
当g′（x）=0时，解得：x=(√(2))/(2)，
当g′（x）>0时，即(√(2))/(2)<x≤2时，函数单调递增，
当g′（x）<0时，即(1)/(2)≤x<(√(2))/(2)时，函数单调递减，
∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=(9)/(4)，
∴b<(9)/(4)，
故答案为：（-∞，(9)/(4)）．