已知函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1e，e）内有零点，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（(1)/(e)，e）内有零点，求a的取值范围．已知函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（(1)/(e)，e）内有零点，求a的取值范围．

(1)/(e)，e）内有零点，求a的取值范围．(1)/(e)1e11ee

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax的导数为：
f′（x）=(1)/(x)-a，
曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，
则f′（x）>0在x>0时恒成立，
即有a<(1)/(x)在x>0时恒成立，
则有a≤0；
（Ⅱ）由于函数f（x）在区间（(1)/(e)，e）内有零点，
则lnx=ax在区间（(1)/(e)，e）内有实根，
即有a=(lnx)/(x)在区间（(1)/(e)，e）内有实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(x)1x111xxx-a，
曲线y=f（x）在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，
则f′（x）>0在x>0时恒成立，
即有a<(1)/(x)在x>0时恒成立，
则有a≤0；
（Ⅱ）由于函数f（x）在区间（(1)/(e)，e）内有零点，
则lnx=ax在区间（(1)/(e)，e）内有实根，
即有a=(lnx)/(x)在区间（(1)/(e)，e）内有实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(x)1x111xxx在x>0时恒成立，
则有a≤0；
（Ⅱ）由于函数f（x）在区间（(1)/(e)，e）内有零点，
则lnx=ax在区间（(1)/(e)，e）内有实根，
即有a=(lnx)/(x)在区间（(1)/(e)，e）内有实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(e)1e111eee，e）内有零点，
则lnx=ax在区间（(1)/(e)，e）内有实根，
即有a=(lnx)/(x)在区间（(1)/(e)，e）内有实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(e)1e111eee，e）内有实根，
即有a=(lnx)/(x)在区间（(1)/(e)，e）内有实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (lnx)/(x)lnxxlnxlnxlnxxxx在区间（(1)/(e)，e）内有实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(e)1e111eee，e）内有实根．
令g（x）=(lnx)/(x)，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (lnx)/(x)lnxxlnxlnxlnxxxx，g′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1-lnx)/(x2)1-lnxx21-lnx1-lnx1-lnxx2x2x22，
当(1)/(e)<x<e时，g′（x）>0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(e)1e111eee0，g（x）递增．
则g（x）∈（-e，(1)/(e)），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(e)1e111eee），
则有a的取值范围是（-e，(1)/(e)）． (1)/(e)1e111eee）．