已知函数f（x）=x|x-a|+2x，其中a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围．（2）若存在a∈[-2，4]，使得关于x的方程f（x）=bf（a）有三个不相同的实数解，求实数b的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x，其中a∈R．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围．
（2）若存在a∈[-2，4]，使得关于x的方程f（x）=bf（a）有三个不相同的实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，x≥a

-x2+(2+a)x，x<a

，
由f（x）在R上是增函数，则

a≥(a-2)/(2)

a≤(2+a)/(2)

，即-2≤a≤2，则a范围为-2≤a≤2
（2）①-2≤a≤2，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
关于x的方程f（x）=bf（a）不可能有三个不相等的实数解．
②当2<a≤4时，由（1）知f（x）在（-∞，(a+2)/(2)]和[a，+∞）上分别是增函数，
在[(a+2)/(2)，a]上是减函数，
当且仅当2a<b•f（a）<((a+2)2)/(4)时，方程f（x）=b•f（a）有三个不相等的实数解．
即1<t<((a+2)2)/(8a)=(1)/(8)（a+(4)/(a)+4）．
令g（a）=a+(4)/(a)，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，
故g（a）_max=5．
∴实数t的取值范围是（1，(9)/(8)）．