设随机变量X和Y相互独立，其概率密度分别为：φx（x）=1，0≤x≤10，其他，φY（y）=e−y，y＞00，y≤0，试求随机变量Z=X+Y的概率密度．

Question

设随机变量X和Y相互独立，其概率密度分别为：φ_x（x）=

1，0≤x≤1

0，其他

，φ_Y（y）=

e−y，y＞0

0，y≤0

，试求随机变量Z=X+Y的概率密度．

Answer 1

Z=X+Y的分布函数为：
F_Z（z）=P{X+Y≤z}=

∬

x+y≤z

φX(x)φY(y)dxdy=

0 ，                 z＜0

∫

z 0

dx

∫

z−x 0

e−ydy＝z−1+e−z， 0≤z≤1

∫

1 0

dx

∫

z−x 0

e−ydy ＝ 1−e1−z+e−z，  z≥1

，
所以概率密度函数为：f_Z（z）=F_Z′（z）=

0，  z＜0

1−e−z， 0≤z≤1

e−z(e−1)， z≥1

．