概随机变量X~N(20,16),Y~N(40,64),且X和Y相互独立,令Z=3X-2Y+1,求Z的概率密度函数

Question

概随机变量X~N(20,16),Y~N(40,64),且X和Y相互独立,令Z=3X-2Y+1,求Z的概率密度函数

Answer 1

X~N(20,4²),Y~N(40,8²),
那么Z=3X-2Y+1也服从正态分布,
Z~N(20*3- 40*2,3²*4²+2²*8²),
即Z~N(-20,20²) +1
而正态分布N(μ,σ²)的概率密度函数为：
f(x)=1/[σ*√(2π)] *e^[-(x-μ)²/(2*σ²)]
故Z的概率密度函数
f(z)= 1/[20*√(2π)] *e^[-(x+20)²/(2*20²)]