急,.设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)>0,试证明：方程∫(0,x)f(t)dt+∫(1,x)1/f(t)dt=0在(0,1)内有且仅有一个根.就只有5分了.

Question

急,.设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)>0,
试证明：方程∫(0,x)f(t)dt +∫(1,x)1/f(t) dt =0在(0,1)内有且仅有一个根.
就只有5分了.

Answer 1

令F(x)=∫(0,x)f(t)dt +∫(1,x)1/f(t) dt
所以F'(x)=f(x)+1/f(x)>0,所以F(x)在[0,1]严格单调递增
F(0)=∫(1,0)1/f(t) dt=-∫(0,1)1/f(t) dt0,
所以根据零值定理,存在点x1属于(0,1),使F'(x1)=0;
又F(x)在[0,1]严格单调递增,则x1唯一
即证方程∫(0,x)f(t)dt +∫(1,x)1/f(t) dt =0在(0,1)内有且仅有一个根