a>b>c>0证明a^a*b^b*c^c>(abc)^1/3(a+b+c)

Question

a>b>c>0证明a^a*b^b*c^c>(abc)^1/3(a+b+c)

Answer 1

原不等式等价于：
alna+blnb+clnc>1/3 (a+b+c)(lna+lnb+lnc) 【两边取对数】
∵a>b>c>0,
∴lna>lnb>lnc
alna+blnb+clnc-(blna+clnb+alnc)
=(a-b)lna+(b-c)lnb+(c-a)lnc
=(a-b)lna+(b-c)lnb+(c-b+b-a)lnc
=(a-b)(lna-lnc)+(b-c)(lnb-lnc)
>0 【因a>b>c,lna>lnb>lnc】
∴alna+blnb+clnc>blna+clnb+alnc .（1）
同理,得：
alna+blnb+clnc>clna+alnb+blnc .（2）
又alna+blnb+clnc=alna+blnb+clnc .（3）
(1)+(2)+(3),得：
3(alna+blnb+clnc)> (a+b+c)(lna+lnb+lnc)
即：alna+blnb+clnc>1/3 (a+b+c)(lna+lnb+lnc) .（4）
证毕.
PS：不等式(1)、(2) 可以由排序不等式直接得到,
（4）式其实就是排序不等式的推论.