已知Z=X+Yi(x,y属于R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2^x+4^3的最小值为多少?

Question

已知Z=X+Yi(x,y属于R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2^x+4^3的最小值为多少?

Answer 1

由|z-4i|=|z+2|,得：
|x+yi-4i|=|x+yi+2|,
|x+(y-4)i|=|(x+2)+yi|,
即√[x^2+(y-4)^2]=√[(x+2)^2+y^2],
x^2+(y-4)^2=(x+2)^2+y^2,
化简,得：
x+2y=3.
又2^x>0, 2^2y>0,
所以2^x+4^y=2^x+2^2y>=2*√(2^x*2^2y)=2*√2^3=4√2.
当且仅当2^x=2^2y,即x=2y,x=3/2,y=3/4时,取等号.
故所求的2^x+4^y的最小值是：4√2.