抛物面Z=X^2+Y^2与平面x+y+z-4=0的交线是一椭圆,求此椭圆上的点到原点的最大值与最小值.

Question

抛物面Z=X^2+Y^2与平面x+y+z-4=0的交线是一椭圆,求此椭圆上的点到原点的最大值与最小值.

Answer 1

由x+y+z-4=0得
　　z=4-x-y (1)
(1)代入Z=X²+y²得
　　4-x-y=X²+y²
　　移项得
　　X²+x+y²+y=4
　　配方得
　　（X+1/2)²+(y+1/2)²=9/2=(3√2/2)²
令x=(-1/2)+3√2/2cost y=(-1/2)+3√2/2sint
则：z=4-(x+y)=5-3√2/2(sint+cost)
椭圆上的点到原点的距离平方为：
d^2=x^2+y^2+z^2=[(-1/2)+3√2/2cost]^2+[(-1/2)+3√2/2sint]^2+[4-(x+y)=5-3√2/2(sint+cost)^2
=[(1/4)-3√2/2cost+9/2(cost)^2]+[(1/4)-3√2/2sint+9/2(sint)^2]+[25-15√2(sint+cost)+9/2(sint+cost)^2]=30-33√2/2(sint+cost)+9/2(sint+cost)^2=30-33sin(t+π/4)+9[sin(t+π/4)]^2
[ d^2]'=-33cos(t+π/4)+18sin(t+π/4)cos(t+π/4)=[-33+18sin(t+π/4)]cos(t+π/4)
令 [ d^2]'=0得：t1=π/2+π/4=3π/4 t2=π+π/4=5π/4
t1=3π/4时,d最大,dmax=6√2
t2=5π/4时,d最小,dmin=√6