求不定积分ln[1+(x^1/3)]dx

Question

求不定积分 ln[1+(x^1/3)]dx

Answer 1

设x^1/3=t,则x=t^3,所以：
∫ln（1+t)dt^3
=t^3ln(1+t)-∫t^3dln(1+t)
=t^3ln(1+t)-∫t^3dt/(t+1)
=t^3ln(t+1)-∫[(t^2-t+1)-1/(t+1)]dt
=t^3ln(t+1)-(t^3/3-t^2/2+t)-ln(t+1)+c
=xln(x^1/3+1)-(x/3-x^2/3/2+x^1/3)+ln(x^1/3+1)+c.