求方程组xz-2yt=3xt+yz=1的整数解

Question

求方程组xz-2yt=3 xt+yz=1 的整数解

Answer 1

xz-2yt=3,x^2z^2-4xytz+4y^2t^2=9,xytz=(x^2z^2+4y^2t^2-9)/4
xt+yz=1,x^2t^2+2xytz+y^2z^2=1,xytz=(1-x^2t^2-y^2z^2)/2
(x^2z^2+4y^2t^2-9)/4=(1-x^2t^2-y^2z^2)/2
x^2z^2+4y^2t^2-9=2(1-x^2t^2-y^2z^2)
(x^2+2y^2)z^2+t^2(4y^2+2x^2)=11
(x^2+2y^2)(z^2+2t^2)=11
因为x,y,t,z都是整数,所以x^2+2y^2以及z^2+2t^2都是整数
11只能分解为11*1,所以x^2+2y^2=1,z^2+2t^2=11或者x^2+2y^2=11,z^2+2t^2=1
对于x^2+2y^2=1来说只能y=0,x=±1；
而z^2+2t^2=13=1+2*5=3+2*4=5+2*3=7+2*2=9+2*1=11+2*0
所以z=±3,t=±1
所以方程组的整数解有：
x=±1,y=0,t=±1,z=±3（x,t,z要同+或同-）和x=±3,y=±1,t=0,z=±1 (x,y,z要同+或同-）