设XYZ都是实数,且满足XZ+YZ+ZX=1,求证,X+Y+Z=XYZ,一定不成立

Question

设X Y Z 都是实数,且满足XZ+YZ+ZX=1,求证,X+Y+Z=XYZ,一定不成立

Answer 1

采用反证法
假设xyz=x+y+z成立,
由xy+yz+zx=1得：
xy=1-yz-xz
由xyz=x+y+z得：
xy=x/z+y/z+1
则1-yz-xz=x/z+y/z+1
-yz-xz=x/z+y/z
x/z+y/z+yz+xz=0
x+y+yz^2+xz^2=0
y(1+z^2)+x(1+z^2)=0
(1+z^2)(x+y)=0
在实数范围内(1+z^2)不为0
则x+y=0
代入xyz=x+y+z得
xyz=z
xy=1,在实数范围内与x+y=0不符,矛盾!
等式xy+yz+zx=1的x,y,z不能满足xyz=x+y+z