证明：f（x，y）=|xy|在点（0，0）处连续，fx（0，0）与fy（0，0）存在，在（0，0）处不可微．

Question

证明：f（x，y）=√(|xy|)在点（0，0）处连续，f_x（0，0）与f_y（0，0）存在，在（0，0）处不可微．

Answer 1

证明：∵

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)=0=f(0，0)
∴f(x，y)=√(|xy|)在（0，0）连续
∵fx(0，0)=

lim

x→0

(f(x，0)-f(0，0))/(x)=0，fy(0，0)=

lim

y→0

(f(0，y)-f(0，0))/(y)=0
∴f(x，y)=√(|xy|)在（0，0）的两个一阶偏导数存在．
∵△f（0，0）=f（△x，△y）-f（0，0）=√(|△x•△y|)
∴△f(0，0)-fx(0，0)△x-fy(0，0)△y=√(|△x•△y|)
∴(△f(0，0))/(ρ)=(|△x•△y|)/(√((△x)2+(△y)2))
若令△x=rcosθ，△y=rsinθ，则有
(△f(0，0))/(ρ)=(r2|sinθ•cosθ|)/(r)=r|sinθ•cosθ|
∴

lim

ρ→0

(△f(0，0))/(ρ)=

lim

r→0

r|sinθ•cosθ|=0
∴f(x，y)=√(|xy|)在（0，0）处可微．