求2xsin(1/x)-cos(1/x）在x→0+时的极限.这个问题是这么来的,考虑f(x)=(x^2)sin(1/x),（x＞0),规定x=0时,f(x)=0.求x=0的右导数,按定义来求,很明显是0,但f(x)在x＞0时f(x)的导函数是2xsin(1/x)-cos(1/x）,它在x→0+

Question

求2xsin(1/x)-cos(1/x）在x→0+时的极限.
这个问题是这么来的,考虑f(x)=(x^2)sin(1/x),（x＞0),规定x=0时,f(x)=0.求x=0的右导数,按定义来求,很明显是0,但f(x)在x＞0时f(x)的导函数是2xsin(1/x)-cos(1/x）,它在x→0+时的极限就应该也为0,但是2xsin(1/x)在x→0+时的极限为0,cos(1/x)在x→0+时的极限不存在,2xsin(1/x)-cos(1/x）在x→0+时的极限就应该不存在.怎么解释这里面的矛盾呢?

Answer 1

按右导数定义来求,很明显是0的,
右导数和fˊ(x0+0)要区分开来
fˊ(x0+0)表示导函数fˊ(x)在点x0的右极限,
它们两个不一定同时存在的,所以并不矛盾.