如图，两根相距为L的足够长的平行金属导轨，位于水平的xy平面内，一端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在沿竖直方向的均匀磁场，磁感应强度B随x的增大而增大，B=kx，式中的k是一常量

Question

如图，两根相距为L的足够长的平行金属导轨，位于水平的xy平面内，一端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在沿竖直方向的均匀磁场，磁感应强度B随x的增大而增大，B=kx，式中的k是一常量．一金属杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动．当t=0时金属杆位于x=0处，速度为v₀，方向沿x轴的正方向．在运动过程中，有一大小可调节的外力F作用于金属杆以保持金属杆以恒定的加速度运动，加速度大小为a，方向沿x轴正方向．除电阻R以外其余电阻都可以忽略不计．求：
（1）当金属杆的速度大小为v时，回路中的感应电动势；
（2）若金属杆的质量为m，施加于金属杆上的外力与时间的关系．

Answer 1

（1）由匀变速运动的速度位移公式可得：
金属杆的位移：x=(v2−v20)/(2a)，
速度为v处，磁感应强度：B=kx=k(v2−v20)/(2a)，
感应电动势：E=BLv=(kLv(v2−v20))/(2a)；
（2）金属杆的位移：
x=v₀t+(1)/(2)at²，
速度：v=v₀+at，
磁感应强度：B=kx=k（v₀t+(1)/(2)at²）
金属杆受到的安培力：
F_B=BIL=(B2L2v)/(R)=(k2(v0t+(1)/(2)at2)2L2(v0+at))/(R)，
由牛顿第二定律得：F-F_B=ma，
则拉力：F＝(k2L2t2(v0+(1)/(2)at)2(v0+at))/(R)+ma；
答：当金属杆的速度大小为v时，回路中的感应电动势：E=(kLv(v2−v02))/(2a)；
（2）若金属杆的质量为m，施加于金属杆上的外力与时间的关系为：F＝(k2L2t2(v0+(1)/(2)at)2(v0+at))/(R)+ma．