设A为4阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=0，若r（A-E）=1，则二次型XTAX在正交变换下的标准形是（）A．y12+y22+y32-3y42B．y12-3y22-3y32-3y42C．y12+y22-3y32-3y42D．y12+y22+y32-y42

Question

设A为4阶实对称矩阵，且A²+2A-3E=0，若r（A-E）=1，则二次型X^TAX在正交变换下的标准形是（　　）

A．y₁²+y₂²+y₃²-3y₄²
B．y₁²-3y₂²-3y₃²-3y₄²
C．y₁²+y₂²-3y₃²-3y₄²
D．y₁²+y₂²+y₃²-y₄²

Answer 1

设λ为A的一个特征值，
则λ满足方程λ²+2λ-3=0，求解可得：λ₁=1，λ₂=-3．
因为：r（A-E）=1，
故特征值λ₁=1的重数为：4-r（A-E）=3．
故A的所有特征值为：1，1，1，-3．
所以二次型的标准形为：y12+y22+y32−3y42．
故选：A．