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设A为4阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=0，若r（A-E）=1，则二次型XTAX在正交变换下的标准形是（）A．y12+y22+y32-3y42B．y12-3y22-3y32-3y42C．y12+y22-3y32-3y42D．y12+y22+y32-y42
题目详情
设A为4阶实对称矩阵，且A2+2A-3E=0，若r（A-E）=1，则二次型XTAX在正交变换下的标准形是（ ）
A．y12+y22+y32-3y42
B．y12-3y22-3y32-3y42
C．y12+y22-3y32-3y42
D．y12+y22+y32-y42
A．y12+y22+y32-3y42
B．y12-3y22-3y32-3y42
C．y12+y22-3y32-3y42
D．y12+y22+y32-y42
▼优质解答
答案和解析
设λ为A的一个特征值，
则λ满足方程λ2+2λ-3=0，求解可得：λ1=1，λ2=-3．
因为：r（A-E）=1，
故特征值λ1=1的重数为：4-r（A-E）=3．
故A的所有特征值为：1，1，1，-3．
所以二次型的标准形为：y12+y22+y32−3y42．
故选：A．
设λ为A的一个特征值，
则λ满足方程λ2+2λ-3=0，求解可得：λ1=1，λ2=-3．
因为：r（A-E）=1，
故特征值λ1=1的重数为：4-r（A-E）=3．
故A的所有特征值为：1，1，1，-3．
所以二次型的标准形为：y12+y22+y32−3y42．
故选：A．
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