已知函数f（x）=1-x−1ex，g（x）=x-lnx．（1）证明：g（x）≥1；（2）证明：（x-lnx）f（x）＞1-1e2．

Question

已知函数f（x）=1-(x−1)/(ex)，g（x）=x-lnx．
（1）证明：g（x）≥1；
（2）证明：（x-lnx）f（x）＞1-(1)/(e2)．

Answer 1

（1）g′(x)＝1−(1)/(x)=(x−1)/(x)(x＞0)，
令g′（x）＞0，x＞1；令g′（x）＜0，0＜x＜1．
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）_min=g（1）=1．
∴g（x）≥1．
（2）f′(x)＝−(ex−(x−1)ex)/(e2x)=(x−2)/(ex)，
令f′（x）＞0，x＞2；令f′（x）＜0，0＜x＜2．
∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
∴f(x)min＝f(2)＝1−(1)/(e2)，
∴f(x)≥1−(1)/(e2)．（当且仅当x=2时取等号）
又由（1）可知，g（x）=x-lnx≥1，（当且仅当x=1时取等号）
∴（x-lnx）f（x）＞1-(1)/(e2)．