已知圆C1：x2+y2-2x-4y+m=0，（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y-4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

Question

已知圆C₁：x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：x+2y-4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

Answer 1

（1）配方得（x-1）²+（y-2）²=5-m，所以5-m＞0，即m＜5，
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∵OM⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x+2y-4=0

x2+y2-2x-4y+m=0

得5x²-16x+m+8=0，
因为直线与圆相交于M、N两点，所以△=16²-20（m+8）＞0，即m＜(24)/(5)，
所以x₁+x₂=(16)/(5)，x₁x₂=(m+8)/(5)，
y₁y₂=(1)/(4)（4-x₁）（4-x₂）=4-（x₁+x₂）+(1)/(4)x₁x₂=(4)/(5)（m+9），
代入解得：m=-(44)/(5)满足m＜5且m＜(24)/(5)，所以m=-(44)/(5)．