过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，求一条曲线L，使沿该曲线O从到A的积分∫L（1+y3）过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，求一条曲线L，使沿该曲线O从到A的

Question

过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，求一条曲线L，使沿该曲线O从到A的积分∫L（1+y3）
过点O（0，0）和A（π，0）的曲线族y=asinx（a＞0）中，求一条曲线L，使沿该曲线O从到A的积分∫_L（1+y³）dx+（2x+y）dy的值最小．

Answer 1

设I(a)＝∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy，由于L：y=asinx（a＞0）
∴I(a)＝

∫

π 0

[1+(2x+asinx)acosx]dx=

∫

π 0

dx+2a

∫

π 0

xcosxdx+a2

∫

π 0

sinxcosxdx=π+(4)/(3)a3?4a
∴I′（a）=4a²-4
令I'（a）=0，得a=1（舍去a=-1）
又I″（1）=8＞0
∴a=1是I（a）的唯一极小值点
∴a=1时，I（a）的值最小
此时，曲线L：y=sinx