证明不等式：（1）设a＞0，b＞0，求证：a5+b5≥a3b2+a2b3（2）已知a≥1，求证：a+1−a＜a−a−1（3）已知a，b，c＞0，求证：a2b2+b2c2+c2a2a+b+c≥abc．

Question

证明不等式：
（1）设a＞0，b＞0，求证：a⁵+b⁵≥a³ b²+a² b³
（2）已知a≥1，求证：√(a+1)−√(a)＜√(a)−√(a−1)
（3）已知a，b，c＞0，求证：(a2b2+b2c2+c2a2)/(a+b+c)≥abc．

Answer 1

证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴a⁵+b⁵-a³ b²-a² b³
=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）≥0
∴a⁵+b⁵≥a³ b²+a² b³…（5分）
（2）证明：要证原不等式成立，
只需证  √(a+1)+√(a−1)＜2√(a)
只需证  2a+2√(a2−1)＜4a
即证√(a2−1)＜a
只需证 a²-1＜a²
即证-1＜0，而-1＜0成立
因此，原不等式成立．…（5分）
（3）证明：因为 b²+c²≥2bc，a²＞0，所以 a²（b²+c²）≥2 a²bc．（1）
同理  b²（c²+a²）≥2 b²ac．（2）c²（a²+b²）≥2 c²ab．（3）
（1）、（2）、（3）相加得，2（ a² b²+b² c²+c² a²）≥2 a²bc+2 b²ac+2 c²ab，
从而 a² b²+b² c²+c² a²≥abc（a+b+c）．
由a，b，c＞0，得a+b+c＞0，于是原不等式成立．…（5分）