设数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=19，a5+b3=9．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=anbn+1an•an+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求Sn．

Question

设数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=19，a₅+b₃=9．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n+(1)/(an•an+1)，S_n为数列{c_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q．
∵a₃+b₅=19=1+2d+q⁴，
a₅+b₃=9=1+4d+q²．
化为2d+q⁴=18，4d+q²=8，
消d得2q⁴-q²-28=0，
∴q²=4（q＞0），
∴q=2，d=1，
∴a_n=n，bn＝2n−1
（2）记Tn＝1•20+2.21+3•22+…+n•2n−1，
2Tn＝1•21+2•22+…+(n−1)•2n−1+n•2n，
∴−Tn＝1+2+22+…+2n−1+n•2n＝(1−n)•2n−1
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∵(1)/(an•an+1)=(1)/(n(n+1))=(1)/(n)−(1)/(n+1)．
记(1)/(an•an+1)的前n项和Q_n，
则Q_n=1−(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1)＝1−(1)/(n+1)，
∴Sn＝Tn+Qn＝(n−1)•2n+(2n+1)/(n+1)．