若等差数列{an}中，a1=3，a4=12，{bn-an}为等比数列，且数列{bn}满足b1=4，b4=20．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．

Question

若等差数列{a_n}中，a₁=3，a₄=12，{b_n-a_n}为等比数列，且数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=3，a₄=12，∴12=3+3d，解得d=3．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n．
∵{b_n-a_n}为等比数列，设公比为q，
又数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20．
∴b4−a4＝(b1−a1)q3，即（20-12）=（4-3）q³，解得q=2．
∴bn−an＝2n−1，
∴b_n=3n+2^n-1．
（2）由（1）可得数列{b_n}的前n项和=3（1+2+…+n）+1+2+2²+…+2^n-1
=(3n(n+1))/(2)+(2n−1)/(2−1)
=(3n(n+1))/(2)+2ⁿ-1．