已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别为B1C1和C1D1的中点．（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求棱台C1EF-CBD的体积．

Question

已知棱长为1的正方体AC₁，E、F分别为B₁C₁和C₁D₁的中点．
（1）求证：E、F、B、D共面；
（2）求证：BE、DF、CC₁三线共点；
（3）求棱台C₁EF-CBD的体积．

Answer 1

（1）证明：∵EF∥D₁B₁，BD∥D₁B₁，∴BD∥EF，
∴EF，BD两直线共面，
∴E、F、D、B共面；
（2）证明：设BE∩DF=O，
则O∈平面DC₁，O∈平面BC₁，
∵平面DC₁∩平面BC₁=CC₁，
∴O∈CC₁，
∴BE、DF、CC₁三线共点；
（3） 棱台C₁EF-CBD的体积=(1)/(3)×(1)/(2)×1×1×2-(1)/(3)×(1)/(2)×(1)/(2)×(1)/(2)×1=(5)/(8)．