1.已知n为非负整数,求证：(1+1/3)(1+1/9)(1+1/81)…(1+1/3^2n)=2/3(1-1/3^2n+1)2.(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)…(1-1/9^2)(1-1/10^2)3.已知a^2*b^2+a^2+b^2+1=4ab,求a^2+b^2和ab的值

Question

1.已知n为非负整数,求证：
(1+1/3)(1+1/9)(1+1/81)…(1+1/3^2n)=2/3(1-1/3^2n+1)
2.(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)…(1-1/9^2)(1-1/10^2)
3.已知a^2*b^2+a^2+b^2+1=4ab,求a^2+b^2和ab的值

Answer 1

(1+1/3)(1+1/9)(1+1/81)…(1+1/3^2n)
=(1-1/3)(1+1/3)(1+1/9)(1+1/81)…(1+1/3^2n)/(1-1/3)
=(1-1/9)(1+1/9)(1+1/81)…(1+1/3^2n)/(2/3)
=(1-1/81)(1+1/81)…(1+1/3^2n)/(2/3)
=……
=(3/2)*(1-1/3^2n)(1+1/3^2n)
=(3/2)*[1-1/3^(2n-1)]
你的式子有一个小错误
(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/4^2)…(1-1/9^2)(1-1/10^2)
=(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)……(1-1/10)(1+1/10)
=(1/2)(3/2)(2/3)(4/3)……(9/10)(11/10)
=(1/2)(11/10)
=11/20
a^2*b^2+a^2+b^2+1=4ab
(a^2b^2-2ab+1)+(a^2-2ab+b^)=0
(ab-1)^2+(a-b)^2=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则另一个小于0,不成立
所以两个都等于0
所以a-b=0,ab-1=0
所以a=b,ab=1
a^2=1,b^2=1
所以a^2+b^2=2,ab=1