用数学归纳法证明(1-x)(1+x+x^2+……+x^(n-1)）=1-x^n证：当N=1时,（1-X）(1+X+X^2+...+X^(N-1))=(1-X)(1+X)=1-X^2,而右边,1-X^N却=1-X,与左边并不相等,是何原因?当N=1时，左边=（1-X）(1+X+X^2+...+X^0)=（1-X)(1+X),右边

Question

用数学归纳法证明(1-x)(1+x+x^2+……+x^(n-1)）=1-x^n
证：当N=1时,（1-X）( 1+X+X^2+...+X^(N-1) )=(1-X)(1+X)=1-X^2,而右边,1-X^N却=1-X,与左边并不相等,是何原因?
当N=1时，左边=（1-X）(1+X+X^2+...+X^0)=（1-X)(1+X),右边是如何=1-X^2的？因为当N=1时，1-X^N=1-X^1=1-X。其他已理解。

Answer 1

n=1时,(1-x)(1+x)=1-x^2 命题成立.
设n=k时命题成立,
即有:(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1)）=1-x^k,
则当n=k+1时,有:
(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1)+x^k)=
=(1-x)(1+x+x^2+……+x^(k-1))+(1-x)*x^k
=1-x^k+(1-x)*x^k
=1-x^k+x^k-x^(k+1)
=1-x^(k+1),
知命题仍成立.
由数学归纳法知,此命题对任何正整数成立.