已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,{bn}为等差数列且各项均为正数,a1=1,an+1=2Sn+1（n属于N*）,b1+b2+b3=15（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求1/T1+1/T2+…

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,{bn}为等差数列且各项均为正数,a1=1,an+1=2Sn+1（n属于N*）,b1+b2+b3=15
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）若a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求1/T1 +1/T2+……1/Tn

Answer 1

（1）a(n+1)=2Sn+1
an=2S(n-1)+1
两式相减,得：a(n+1)-an=2(Sn-S(n-1))=2an
a(n+1)=3an
a1=1
所以{an}是以1为首项,3为公比的等比数列
an=3^(n-1)
（2）因为{bn}是等差数列
所以b1+b2+b3=3b2=15
b2=5
b1=5-d b3=5+d
因为a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列
a1+b1=6-d a2+b2=8 a3+b3=14+d
64=(6-d)(14+d)
d^2+8d-20=0
(d+10)(d-2)=0
d=2或-10（舍去,因为{bn}是正项数列,公差d必然>=0）
所以b1=3 b2=5 b3=7
bn=3+2(n-1)=2n+1
Tn=(3+2n+1)*n/2=n(n+2)
1/Tn=1/n(n+2)=1/2*[1/n-1/(n+2)]
所以1/T1+1/T2+...+1/Tn
=1/2*[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/(n-1)-1/(n+1)+1/n-1/(n+2)]
=1/2*[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
=3/4-(2n+3)/2(n+1)(n+2)