已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),离心率为根号2/2,直线l:x+2y-2=0与x轴,y轴分别交于A,B1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程(2)若线段AB上存在点P,满足PF1+PF2=2a,求a的取值范围

Question

已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),离心率为根号2/2,直线l:x+2y-2=0与x轴,y轴分别交于A,B
1)若点A是椭圆E的一个顶点,求椭圆的方程
(2)若线段AB上存在点P,满足PF1+PF2=2a,求a的取值范围

Answer 1

(1)由离心率知,a=根号2*c
令y=0,解得x=2,即a=2
进而解得b=c=根号2
方程为x^2/4+y^2/2=1
(2)设椭圆方程为x^2/2b^2+y^2/b^2=1,
联立椭圆方程与直线方程x+2y-2=0,得
3x^2-4x+4-4b^2=0,
由题意线段AB上存在点P满足PF1+PF2=2a, 即线段AB与椭圆E有公共点,
等价于方程3x^2-4x+4-4b^2=0在x∈[0,2]上有解
所以2a^2=4b^2=3x^2-4x+4=3(x-2/3)^2+8/3
因为x∈[0,2],
所以4/3≤a^2≤4,
即所求的a的取值范围是2*根号3/3≤a≤2．