已知向量组a1，a2，…，an线性无关，向量组b1，b2，…，bn满足：b1＝a1+a2b2＝a2+a3⋮bn−1＝an−1+anbn＝an+a1，分别讨论当n=4和n=5时，向量组b1，b2，…，bn是否线性相关？

Question

已知向量组a₁，a₂，…，a_n线性无关，向量组b₁，b₂，…，b_n满足：

b1＝a1+a2

b2＝a2+a3

        ⋮

bn−1＝an−1+an

bn＝an+a1

，分别讨论当n=4和n=5时，向量组b₁，b₂，…，b_n是否线性相关？

Answer 1

由于（b₁，b₂，…，b_n）=（a₁，a₂，…，a_n）

1	0	…	0	1
1	1	…	0	0
⋮	⋮	…	⋮	⋮
0	0	…	1	0
0	0	…	1	1

，
记A=

1	0	…	0	1
1	1	…	0	0
⋮	⋮	…	⋮	⋮
0	0	…	1	0
0	0	…	1	1

，则|A|=1+（-1）ⁿ⁺¹（按第一行展开）
∴①当n=4时，|A|=0，从而r（b₁，b₂，…，b_n）＜r（a₁，a₂，…，a_n）=n
因此，（b₁，b₂，…，b_n）线性相关；
②当n=5时，|A|=2≠0，从而r（b₁，b₂，…，b_n）=r（a₁，a₂，…，a_n）=n
因此，（b₁，b₂，…，b_n）线性无关．