已知角A,B,C为△ABC的三个内角,其对边分别为a,b,c,若向量m=(-cosA/2,sinA/2),向量n=(cosA/2,sinA/2)a=2√3,且向量m*向量n=1/21.若△ABC的面积S=√3,求b+c的值2.求b+c的取值范围

Question

已知角A,B,C为△ABC的三个内角,其对边分别为a,b,c,若向量m=(-cosA/2,sinA/2),向量n=(cosA/2,sinA/2)
a=2√3,且向量m*向量n=1/2
1.若△ABC的面积S=√3,求b+c的值
2.求b+c的取值范围

Answer 1

1.
向量m•向量n=1/2
向量m•向量n
= (-cosA/2,sinA/2)*(cosA/2,sinA/2)
=-cos²A/2+sin²A/2
=-(cos²A/2-sin²A/2）
=-cosA
所以cosA=-1/2
A=120°
△ABC的面积S=√3,则1/2*b*c*sin120=√3 所以bc=4.
a=2√3,根据余弦定理可得：a^2=b^2+c^2-2bccos120,
即12=b^2+c^2+bc,
12=(b+c)^2-bc,因为bc=4
所以b+c=4.
2.
a=2√3,根据余弦定理可得：a^2=b^2+c^2-2bccos120,
即12=b^2+c^2+bc,
12=(b+c)^2-bc,
因为bc≤(b+c)^2/4,
所以12=(b+c)^2-bc≥(b+c)^2-(b+c)^2/4,
∴12≥3(b+c)^2/4,b+c≤4.
又因b+c>a=2√3,
所以b+c的取值范围是(2√3,4].