已知（1+2x）4（1-x2）3=a0+a1x+a2x2+…+a10x10（Ⅰ）求a1+a2+…+a10的值；（Ⅱ）求a2的值（Ⅲ）将a1，a2，a3，a4，a5，a6这六个不同的符号，放入编号为1，2，3，4，5，6的6个盒子中，每个盒内放一个数

Question

已知（1+2x）⁴（1-x²）³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰
（Ⅰ）求a₁+a₂+…+a₁₀的值；
（Ⅱ）求a₂的值
（Ⅲ）将a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆这六个不同的符号，放入编号为1，2，3，4，5，6的6个盒子中，每个盒内放一个数，若a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆这六个符号中至多有三个符号的下标与盒子编号相同，求不同的投放方法的种数．

Answer 1

（Ⅰ）∵（1+2x）⁴（1-x²）³=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ ，令x=0，可得a₀=1，
再令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀ =1+a₁+a₂+…+a₁₀ =0，∴a₁+a₂+…+a₁₀ =-1．
（Ⅱ）∵（1+2x）⁴（1-x²）³ =[1+8x+24x²+32x³+16x⁴]•[1-3x²+3x⁴-x⁶]=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ ，
∴a₂=-3+24=21．
（Ⅲ）a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆ 这六个符号中至多有三个符号的下标与盒子编号相同，
包括只有三个符号的下标与盒子编号相同、有两个符号的下标与盒子编号相同．
若只有三个符号的下标与盒子编号相同，则有2•

C

3 6

=40种，
若只有两个符号的下标与盒子编号相同，则有

C

2 6

•9=135，
故共有的方法种数为 40+135=175．