若（x-1）n的展开式中只有第10项的二项式系数最大，（1）求展开式中系数最大的项；（2）设（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，求a0+a2+a4+…+an．

Question

若（x-1）ⁿ的展开式中只有第10项的二项式系数最大，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）设（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求a₀+a₂+a₄+…+a_n．

Answer 1

（1）∵（x-1）ⁿ的展开式中只有第10项的二项式系数最大，
∴n=18．
设第r+1项的系数最大，则Tr+1＝

C

r 18

x18−r•(−1)r，
∴r为偶数，且C

r

18

最大，
即r=8或10．
即展开式中系数最大的项为第9项和第11项的系数最大．
∴T10＝

C

9 18

x10，T 11＝

C

10 18

x8．
（2）令x=1，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₈=1，
令x=-1，则a₀-a₁+a₂-…+a₁₈=[（a₀+a₂+a₄+…+a₁₈）-（a₁+a₃+a₅+…+a₁₇）]=（-3）¹⁸=3¹⁸，
∴两式相加得：2（a₀+a₂+a₄+…+a₁₈）=3¹⁸+1．
∴a₀+a₂+a₄+…+a₁₈=(1+318)/(2)．
故答案为：1．