已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a2n+1=2Sn+n+4，且a2-1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=bn+1anan+1，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足

a

2 n+1

=2Sn+n+4，且a2-1，a3，a7恰为等比数列{b_n}的前3项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若cn=bn+(1)/(anan+1)，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵

a

2 n+1

=2S_n+n+4，
∴当n≥2时，

a

2 n

=2S_n-1+n+3，

a

2 n+1

-

a

2 n

=2a_n+1，
化为

a

2 n+1

=(an+1)2，
∵各项均为正数，
∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为1．
∴a_n=a₁+n-1．
∵a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项．
∴

a

2 3

=（a₂-1）a₇，
∴(a1+2)2=a₁•（a₁+6），
化为2a₁=4．
解得a₁=2．
∴a_n=n+1，
∴等比数列{b_n}的首项为2，公比为2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）cn=bn+(1)/(anan+1)=2ⁿ+((1)/(n+1)-(1)/(n+2))，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=(2(2n-1))/(2-1)+[((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+…+((1)/(n+1)-(1)/(n+2))]
=2ⁿ⁺¹-2+(1)/(2)-(1)/(n+2)
=2ⁿ⁺¹-(3)/(2)-(1)/(n+2)．