线性代数证明题已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,证明：向量组a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1线性无关.

Question

线性代数
证明题
已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,证明：向量组a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1线性无关.

Answer 1

(a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1)=(a1,a2,a3,a4)A
矩阵A =
1 0 0 1
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
这里有个结论:r(a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1)=r(A)
下面计算A的秩
r1 -r2 + r3 -r4
0 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
所以 r(b1,b2,b3,b4)=r(A) = 3.
你题目有误,a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1 线性相关!
有 (a1+a2)-(a2+a3)+(a3+a4)-(a4+a1) = 0.