线性代数线性相关与线性表示问题已知a1,a2,a3线性无关,且a1,a2,a3不能由b1,b2,b3线性表出.那么b1,b2,b3是线性相关还是线性无关?

Question

线性代数线性相关与线性表示问题
已知a1,a2,a3线性无关,且a1,a2,a3不能由b1,b2,b3线性表出.那么b1,b2,b3是线性相关还是线性无关?

Answer 1

这个,你没说前提条件啊,是几维空间啊?
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假若是三维空间,那么b1、b2、b3一定线性相关.
因为假若b1、b2、b3线性无关,那么它是R^3的一组基,
它可以线性表示R^3中的任何向量,自然就能表示a1、a2、a3
与已知矛盾
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假若是四维或五维空间,那么b1、b2、b3也一定线性相关.
否则,
假若b1、b2、b3线性无关,而它们不能线性表示a1、a2、a3,
那么a1、a2、a3、b1、b2、b3均线性无关,
也就是说,空间维数至少是六维
与空间维数相矛盾
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假若不止五维空间,是六维或以上空间,那就不一定了.
哪怕是六维就能举出反例!
例如：
a1={000001}
a2={000010}
a3={000100}
而
b1={001000}
b2={010000}
b3={100000}
显然,此时a1、a2、a3、b1、b2、b3均线性无关,
自然b1、b2、b3均无法表示a1、a2、a3
…………………………………………………………………………………………
再例如：
a1={000001}
a2={000010}
a3={000100}
而
b1={001000}
b2={002000}
b3={003000}
显然,此时a1、a2、a3线性无关,b1、b2、b3线性相关,
且b1、b2、b3均无法表示a1、a2、a3
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综上,假若空间维数不足六维,那么一定线性相关
假若空间维数至少六维,可能线性无关,也可能线性相关.
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