关于向量最大线性无关组的问题a1=(-1,1,-1,3)a2=(1,1,3,1)a3=(-1,3,-1,7)a4=(5,-2,8,-9)求向量组a1,a2,a3,a4的一个最大线性无关组,并把其余向量用最大线性无关组表示最大线性无关组是怎样判断出来的,

Question

关于向量最大线性无关组的问题
a1=(-1,1,-1,3) a2=(1,1,3,1) a3=(-1,3,-1,7) a4=(5,-2,8,-9) 求向量组a1,a2,a3,a4的一个最大线性无关组,并把其余向量用最大线性无关组表示
最大线性无关组是怎样判断出来的,我这个搞不懂~

Answer 1

正常解法:
将向量作为列向量构造矩阵
对矩阵用初等行变换化成梯矩阵
则可得两个结果:
(1)梯矩阵的非零行数即向量组的秩
(2)梯矩阵中非零行的首非零元所在列对应的向量即为一个极大无关组
若将其余向量用最大线性无关组线性表示,则将梯矩阵进一步化成行简化梯矩阵
则可直接得出向量间的线性关系.
(a1^T,a2^T,a3^T,a4^T) =
-1 1 -1 5
1 1 3 -2
-1 3 -1 8
3 1 7 -9
r2+r1,r3-r1,r3+3r1
-1 1 -1 5
0 2 2 3
0 2 0 3
0 4 4 6
r3-r2,r4-2r2
-1 1 -1 5
0 2 2 3
0 0 -2 0
0 0 0 0
(这是梯矩阵,可知向量组的秩为3,
a1,a2,a3 是向量组的一个极大无关组)
r1*(-1),r2*(1/2),r3*(-1/2)
1 -1 1 -5
0 1 1 3/2
0 0 1 0
0 0 0 0
r1-r3,r2-r3
1 -1 0 -5
0 1 0 3/2
0 0 1 0
0 0 0 0
r1+r2
1 0 0 -7/2
0 1 0 3/2
0 0 1 0
0 0 0 0
所以a1,a2,a3 是向量组的一个极大无关组
a4 = -(7/2)a1 + (3/2)a2 + 0a3.