设向量a1=(a,10,2),a2=(-2,5,1),a3=(-1,4,1),B=(1,c,b),讨论a,b,c满足什么条件时,（1）B可由a1,a2,a3线性表示,且表示唯一（2）B不能由a1,a2,a3线性表示（3）B可由a1,a2,a3线性表示,但表示不唯一,并求出其一般的

Question

设向量a1=(a,10,2),a2=(-2,5,1),a3=(-1,4,1),B=(1,c,b),讨论a,b,c满足什么条件时,
（1）B可由a1,a2,a3线性表示,且表示唯一
（2）B不能由a1,a2,a3线性表示
（3）B可由a1,a2,a3线性表示,但表示不唯一,并求出其一般的表达式

Answer 1

(a1^T,a2^T,a3^T,B^T)=
a -2 -1 1
10 5 4 c
2 1 1 b
r1+r3,r2-4r3
a+2 -1 0 1+b
2 1 0 c-4b
2 1 1 b
r1+r2,r3-r2
a+4 0 0 1-3b+c
2 1 0 c-4b
0 0 1 5b-c
a不等于-4时,是情形(1)
a=-4,1-3b+c不等于0时,是情形(2)
a=-4,1-3b+c=0时,是情形(3)
此时矩阵化为
0 0 0 0
2 1 0 -1-b
0 0 1 2b+1
B=ka1 + (-1-b-2k)a2 + (2b+1)a3
k为任意常数